Степень в числителе и знаменателе

Степень в числителе и знаменателе

Примеры, решения


Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.

Произвести возведение дроби x23·y·z3 в квадрат. Решение Необходимо зафиксировать степень x23·y·z32. По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x23·y·z32=x223·y·z32 .

Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида x223·y·z32=x2·232·y2·z32=x49·y2·z6 Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что x23·y·z32=x223·y·z32=x49·y2·z6 Ответ: x23·y·z32=x49·y2·z6.

Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.

Возвести дробь 2·x-1×2+3·x·y-y в квадрат. Решение Из правила имеем, что 2·x-1×2+3·x·y-y2=2·x-12×2+3·x·y-y2 Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим: 2·x-12×2+3·x·y-y2==2·x2-2·2·x·1+12×22+3·x·y2+-y2+2·x2·3·x·y+2·x2·(-y)+2·3·x·y·-y==4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2 Ответ: 2·x-12×2+3·x·y-y2=4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2 Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь.

Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Конспект урока «Умножение дробей. Возведение дроби в степень»

Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.

Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе. Например Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю. Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т.е.

является тождеством. Правило умножения рациональных дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так: Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения. Пример 1: умножить дроби. Решение: Пример 2: умножить дроби.

Решение: Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.

Решение: Пример 4: выполнить умножение. Решение: Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Проверим это равенство на конкретных примерах.

Правило возведения рациональной дроби в степень: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби. Пример 5: возвести в третью степень дробь.

Конспект урока

возведение дроби в степень»»>

Пример 6: возвести во вторую степень дробь.

Конспект урока

Пример 7:

Конспект урока

возведение дроби в степень»»>

Итоги Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Конспект урока

0

Конспект урока

возведение дроби в степень»»>

15240 Предыдущий урок 4 Следующий урок 6

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1.

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению.

Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно.

Например, в алгебраической дроби 3·x23·y совершенно понятно, что общим множителем является число 3. В дроби -x·y5·x·y·z3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y, или на х·y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x3-1×2-1 мы можем сократить на х-1, при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x3-x2+x-1×3+x2+4·x+4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она.

При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби.

Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Сокращение алгебраических дробей

Сокращение основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители! Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители. Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем. Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3. Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем. a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем).

От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем. c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем).

Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя!

(нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо .

В числителе есть общий множитель 4x.

Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3).

Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов.

После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых.

первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x².

Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители.

В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵.

Вынесем их за скобки:

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

А как сокращать дроби вида

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз. Рубрика: |

Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например: Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны показателя исходной степени.

Например, в степени 10−2 модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть: Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:

Избавление от иррациональности методом умножения на корень


Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A. Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0.

После умножения в знаменателе окажется выражение вида A·A, которое легко избавить от корней: A·A=A2=A. Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике. Условие: даны дроби x3 и -1×2+y-4.

Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях. Решение Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3.

Получим следующее: x3=x·33·3=x·332=x·33 Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе: -1×2+y-4=-1·x2+y-4×2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4×2+y-42=-x2+y-4×2+y-4 Ответ: x3=x·33 и -1×2+y-4=-x2+y-4×2+y-4 . Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k или An·kn (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно.

Разберем такой пример. Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625.

Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625: 7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656 Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14.

Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем: xx2+1415=x·x2+14×2+1415·x2+14==x·x2+14×2+1416=x·x2+14×2+1444=x·x2+14×2+14 Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14×2+14.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени.

Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения: 52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0. Теперь поделим обе части равенства на 72·x.

Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения: 5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0 Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0. Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени. У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере. Вычислите 8-23.

Решение Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23 Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8-23=1643=133643=133433=14 Способ 2.

Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2 После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадрат: 2-2=122=14 Видим, что решения идентичны.

Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью.

Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Возведите 44,89 в степень 2,5. Решение Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107 Ответ: 13 501,25107. Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа.

Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями.

Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления.

Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной.

Взгляните на примеры: Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1.

Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

Например, возведём во вторую степень произведение 2 × 3.

Возьмём в скобки данное произведение и в качестве показателя укажем 2 Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты: Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале. Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее: 2 × 3 × 2 × 3 От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Это позволяет сгруппировать одинаковые множители: 2 × 2 × 3 × 3 Повторяющиеся множители можно заменить на короткие записи — основания с показателями. Произведение 2 × 2 можно заменить на 22, а произведение 3 × 3 можно заменить на 32.

Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 обращается в выражение 22 × 32.

Пусть ab исходное произведение. Чтобы возвести данное произведение в степень n, нужно по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n Данное свойство справедливо для любого количества множителей.

Следующие выражения также справедливы: Пример 2.

Найти значение выражения (2 × 3 × 4)2 В данном примере нужно возвести во вторую степень произведение 2 × 3 × 4.

Чтобы сделать это, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты: Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3 Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения: Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3 (3xyz)3 Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения: (3xyz)3 = 33x3y3z3 Число 3 в третьей степени равно числу 27.

Остальное оставим без изменений: (3xyz)3 = 33x3y3z3 = 27x3y3z3 В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем. Например, вычислим значение выражения 52 × 32.

Возведем каждое число во вторую степень и перемножим полученные результаты: 52 × 32 = 25 × 9 = 225 Но можно не вычислять по отдельности каждую степень.

Вместо этого, данное произведение степеней можно заменить на произведение с одним показателем (5 × 3)2. Далее вычислить значение в скобках и возвести полученный результат во вторую степень: 52 × 32 = (5 × 3)2 = (15)2 = 225 В данном случае опять же было использовано правило возведения в степень произведения.

Ведь, если (a × b)n = an × bn, то an × bn = (a × b)n.

То есть левая и правая часть равенства поменялись местами.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно за скобки. Рассмотрим пример.

В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен «(3f + k)» можно сократить только со многочленом «(3f + k)».