Как вычислить площадь неправильного шестиугольника

6 Площадь неправильного многоугольника


Площадь неправильного многоугольника можно найти с помощью координат его вершин. Если в условии задачи даны вышеупомянутые координаты, то выполняем следующее:

  1. Умножаем значение x одной вершины на значение y второй и так далее.
  2. Составляем таблицу указывая букву, обозначающую вершину и соответствующие координаты (x; y).
  3. Складываем все значение, получаем какое-то число.
  1. Составляем точно такую таблицу, по такому же принципу умножаем y координату одной вершины на x координату второй, складываем получившиеся значения.
  1. От суммы значений первой таблицы отнимаем сумму значений второй таблицы.
  1. Полученное число делим на 2 и тем самым находим площадь неправильного многоугольника.

Первая полосаБеременностьКак не набрать лишний вес во время беременностиИсточник: https://sovetclub.ru/kak-najti-ploshhad-mnogougolnika

Правильный шестиугольник и его свойства

  • >

1. Читай полную теорию 2. Вникай в доказательства 3.

Применяй на практике Определение Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны. Замечание Т.к. сумма всех углов \(n\)–угольника равна \(180^\circ(n-2)\), то каждый угол правильного \(n\)–угольника равен \[\alpha_n=\dfrac{n-2}n \cdot 180^\circ\] Пример Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac {4-2}4\cdot 180^\circ=90^\circ\); каждый угол правильного шестиугольника равен \(\dfrac{6-2}6\cdot 180^\circ=120^\circ\).

Теоремы 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Следствия 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема Если \(a\) – сторона правильного \(n\)–угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin{aligned} S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfrac{180^\circ}n\\ r&=R\cdot \cos\dfrac{180^\circ}n \end{aligned}\] Свойства правильного шестиугольника 1. Сторона равна радиусу описанной окружности: \(a=R\).

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника. 3. Все углы правильного шестиугольника равны \(120^\circ\). 4. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\). 5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание В общем случае правильный \(n\)-угольник инвариантен относительно поворота на угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\).

Будь в курсе! Мы в соц. сетях © 2019 Все права защищены | с использованием гранта Президента Российской Федерации на развитие гражданского общества, предоставленного Фондом президентских грантов при поддержке Научно-исследовательского института Проблем развития научно-образовательного потенциала молодежи Род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю Выберите род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю

Использование осей координат

Используем координаты вершин многоугольника:

  1. Вычитаем сумму, полученную на 4-м этапе из суммы, полученной на третьем этапе.
  2. Делим результат, полученный на предыдущем этапе, и находим, что искали.
  3. Значения координат y1-й вершины умножаем на значения координат x 2-й вершины. Складываем результаты.
  4. Умножаем значения координаты x 1-й вершины на значение y 2-й вершины, и продолжаем так умножать. Складываем полученные результаты.
  5. В таблицу записываем координаты вершин x и y . Последовательно выбираем вершины, «двигаясь» против часовой стрелки, завершая список повторной записью координат первой вершины.

Немного теории о многоугольниках

Если провести три или более пересекающихся прямых, то они образуют некоторую фигуру. Именно она является многоугольником.

По количеству точек пересечения становится ясно, сколько вершин у него будет. Они дают название получившейся фигуре. Это может быть:

  1. треугольник;
  2. четырехугольник;
  3. пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

  • У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.
  • Смежные стороны не принадлежат одной прямой.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне.

Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю.

Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

ВеличинаРисунокФормулаОписаниеP = 3aВыражение периметра через сторонуПлощадьВыражение площади через сторонуПлощадьВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружностиСторонаВыражение стороны через радиус вписанной окружностиПериметрВыражение периметра через радиус вписанной окружностиПлощадьВыражение площади через радиус вписанной окружностиСторонаВыражение стороны через радиус описанной окружностиПериметрВыражение периметра через радиус описанной окружностиПлощадьВыражение площади через радиус описанной окружностиФормулы для правильного треугольникаВыражение периметра через сторонуP = 3aВыражение периметра через радиус вписанной окружностиВыражение периметра через радиус описанной окружностиФормулы для площади правильного треугольникаВыражение площади через сторонуВыражение площади через сторону и радиус вписанной окружностиВыражение площади через радиус вписанной окружностиВыражение площади через радиус описанной окружностиФормулы для стороны правильного треугольникаВыражение стороны через радиус вписанной окружностиВыражение стороны через радиус описанной окружности

Выпуклый шестиугольник

Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь.

Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле: S = 2,59 R2 = 2,59 a2. Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как: r = 3,46 a.

Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.

Правильный шестиугольник

  • >
  • и его свойства

6. Геометрия на плоскости (планиметрия).

Часть II 1. Вспоминай формулы по каждой теме 2.

Решай новые задачи каждый день 3.

Вдумчиво разбирай решения — выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. \(\blacktriangleright\) Каждый угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\). \(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. \(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\] Задание 1 #2430 Уровень задания: Равен ЕГЭ К окружности, описанной около правильного шестиугольника \(ABCDEF\), в точке \(A\) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой \(AD\). Ответ дайте в градусах. Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке \(AD\), то есть \(AD\) – диаметр описанной окружности.

Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и \(AD\) равен \(90^\circ\).

Ответ: 90 Задание 2 #2427 Уровень задания: Равен ЕГЭ Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен \(\sqrt{12}\). Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

По свойству правильного шестиугольника радиус \(r\) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны. Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне \(a\).
Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне \(a\).

Тогда из прямоугольного треугольника: \[a^2=\left(\frac a2\right)^2+r^2 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac 2{\sqrt3}\,r \quad\Rightarrow \quad a=\dfrac2{\sqrt3}\cdot \sqrt{12}=4\] Таким образом, и радиус описанной окружности равен \(4\). Ответ: 4 Задание 3 #3589 Уровень задания: Равен ЕГЭ Периметр правильного шестиугольника равен \(72\). Найдите диаметр описанной окружности.

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника).

Рассмотрим чертеж: Так как угол правильного шестиугольника равен \(180^\circ(6-2):6=120^\circ\), а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, \(\angle BAO=\angle ABO=60^\circ\), следовательно, \(\triangle ABO\) – равносторонний. То есть радиус окружности равен \(AO\) и равен \(AB\).

Так как периметр шестиугольника равен \(72\), то его сторона равна \(72:6=12\). Тогда диаметр описанной окружности равен \(2\cdot 12=24\).

Ответ: 24 Задание 4 #3588 Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(\sqrt3\). Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2\cdot (\sqrt3)^2=3\sqrt3\cdot r\quad\Rightarrow\quad r=1,5\] Ответ: 1,5 Задание 5 #3587 Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(\sqrt3\).

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2a^2=3a\cdot \sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=2\] Ответ: 2 Задание 6 #2429 Уровень задания: Равен ЕГЭ Площадь правильного шестиугольника равна \(24\sqrt3\). Найдите длину его большей диагонали.

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если \(AB=a\), то \(AD=BF=CE=2a\).

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна \(\frac{\sqrt3}4 a^2\), то площадь всего шестиугольника равна \[S=6\cdot \dfrac{\sqrt3}4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\] Ответ: 8 Задание 7 #666 Уровень задания: Равен ЕГЭ Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\).

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна \(\frac{\sqrt3}4 a^2\), то площадь всего шестиугольника равна \[S=6\cdot \dfrac{\sqrt3}4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\] Ответ: 8 Задание 7 #666 Уровень задания: Равен ЕГЭ Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\).

Расстояние от точки \(O\) до одной из его сторон равно \(4\sqrt{3}\).

Найдите радиус этой окружности.

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

\(OK\) – высота в треугольнике \(AOF\), опущенная из \(O\). Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то \(OK = 4\sqrt{3}\).Пусть \(R\) – радиус описанной окружности, тогда \(OF = R\), \(KF = 0,5R\) (так как \(OK\) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора \(R^2 = (0,5R)^2 + (4\sqrt{3})^2\), откуда \(R = 8\).

Ответ: 8 Теме « и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т.
Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т.

Рекомендуем прочесть:  Гигиеническое обучение косгу в 2020

д. Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме. Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т.

д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка».

Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме . Найти их вы сможете в разделе «Каталог».

Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное».

В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем. Будь в курсе! Мы в соц. сетях © 2019 Все права защищены | с использованием гранта Президента Российской Федерации на развитие гражданского общества, предоставленного Фондом президентских грантов при поддержке Научно-исследовательского института Проблем развития научно-образовательного потенциала молодежи Род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю Выберите род деятельности Ученик Преподаватель Нажав на кнопку «Зарегистрироваться», я принимаю

Как рассчитать площадь земельного участка неправильной формы?

Итак, вы планируете свой участок. А может купить новый или присоединить соседний?

В любом случае вам необходимо знать точный размер владений.

Это поможет лучше сориентироваться в ценовом диапазоне и, что ещё важнее, правильно Итак, сколько квадратных метров в участке? Узнать это можно самостоятельно, не заказывая проект межевания у специалиста.

Есть несколько способов произвести расчет площади земли, но самым точным является аналитический. Он выполняется с помощью формул площади по измеренным линиям границ. На этом способе и остановимся. Ведь линии границ у приусадебных или обычно чётко определены, а форма их зачастую представляет собой знакомую нам со школы фигуру — четырехугольник.
Ведь линии границ у приусадебных или обычно чётко определены, а форма их зачастую представляет собой знакомую нам со школы фигуру — четырехугольник.

Далее пользуемся формулой: На калькуляторах манипуляции будут выглядеть так: сначала вводим величину острого угла, затем клавиша sin, перемножаем полученное число с данными о диагоналях и делим на два.

Активные граждане России часто интересуются, . Вам необходимо сделать межевание своего участка в СНТ?

В есть перечень необходимых документов, а также правильный порядок действий. В российском законодательстве есть несколько форм права владения землей.

Подробно о каждом из них написано . Если же можно измерить вручную, тогда нам пригодится второй способ. Здесь нам нужны будут лишь длины всех четырех сторон (a,b,c,d).

Сложив их вместе и поделив полученное число пополам, мы получим полупериметр нашего четырехугольника (p): Далее используем эту величину, вычислив корень из перемножения её с её же разностями со всеми четырьмя сторонами: Для верности конечно лучше сочетать оба эти способа.

Результаты вычислений должны совпасть или быть очень близкими.

Однако каждый из них достаточно надёжен, если пользоваться точно рассчитанными величинами. Как видим, вычислить не так уж сложно.

Достаточно вспомнить программу обучения средней школы.

Наибольшая трудность здесь очевидно в выяснении исходных данных. Впрочем, их можно перепроверить, запросив официальные у властей или поискав на официальных административных ресурсах.

Стоит учитывать, что там площадь участков будет отмечена в гектарах. Дорогие читатели, информация в статье могла устареть, воспользуйтесь бесплатной консультацией позвонив по телефонам: Москва +7 (499) 653-60-87, Санкт-Петербург +7 (812) 313-26-64 или задайте вопрос юристу через форму обратной связи, расположенную ниже.

ПОДЕЛИТЬСЯ

2 Как найти площадь неправильного шестиугольника

Формулы для вычисления площади неправильного шестиугольника – многоугольника, стороны которого не равны между собой.

Метод трапеции:

  1. Основные формулы площади трапеции: S = 1/2*(a + b)*h, где a и b – основания трапеции, h – высота. S = h*m, где h – высота, m – средняя линия.
  2. Делим шестиугольник на произвольные трапеции, вычисляем площадь каждой из них и складываем.

Известны координаты вершин шестиугольника:

  1. Для начала запишем координаты точек, причём, располагая их не в хаотичном порядке, а последовательно друг за другом. Например: A: (-3, -2) B: (-1, 4) C: (6, 1) D: (3, 10) E: (-4, 9) F: (-5, 6)
  2. Далее, внимательно, умножаем координату x каждой точки на координату y следующей точки: -3*4 = -12 -1*1 = -1 6*10 = 60 3*9 = 27 -4*6 = -24 -5*(-2) = 10 Результаты складываем: -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60 Далее умножаем координату y каждой точки на координату x следующей точки.

    -2*(-1) = 2 4*6 = 24 1*3 = 3 10*(-4) = -40 9*(-5) = -45 6*(-3) = -18 Результаты складываем: 2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74 Из первого результата вычитаем второй: 60 -(-74) = 60 + 74 = 134 Полученное число делим на два: 134/2 = 67 Ответ: 67 квадратных единиц.

  1. Также для нахождения площади шестиугольника вы можете разбить его на треугольники, квадраты, прямоугольники, параллелограммы и так далее. Найти площади составляющих его фигур и сложить.

Итак, методы нахождения площади шестиугольника на все случаи жизни изучены. Теперь вперёд, применять полученные знания!

Удачи!

Как посчитать сотки земли и измерить площадь участка?

Сотки и гектары — это общепринятые единицы площади земельных участков. Но как понять действительные размеры участка? Если это прямоугольная территория, с ровными границами — то здесь достаточно элементарных знаний математики, а если нет — здесь без сложных расчетов и калькулятора не обойтись.